C语言数据结构复杂度

yixiu 9/1/2023 C语言数据结构

# C 语言数据结构复杂度

# 数据结构和数据库

数据结构：在内存中管理数据

数据库：在磁盘中存储数据

# 算法

算法就是对数据按要求进行某种处理，比如：查找、排序。

# 时间复杂度和空间复杂度

时间衡量一个算法运行的快慢
空间复杂度衡量一个算法运行所需要的额外空间

# 时间复杂度

算法的时间复杂度是一个函数，它定量米哦啊输了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是无法计算的，只有在机器上跑出来，才能知道。每个算法都进行上机测试是不现实的，这才有了时间复杂度这种分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数为算法的时间复杂度。

如何计算：

void Func1(int N) {
  int count = 0;
  for(int i = 0; i < N; i++) {
    for(int j = 0; j < N; j++) {
    	++count;
  	}
  }
  
  for(int i = 0; i < N; i++) {
    ++count;
  }
  
  int M = 10;
  while(M--) {
    ++count;
  }
}

计算一下++count语句总共执行了多少次？

准确的时间复杂度函数式：F(N) = N * N + 2 * N + 10

因为准确的时间复杂度函数式不方便在算法之间进行比较。从而引入大O的渐进表示法进行大概估算。

# 大O的渐进表示法

用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

用常数1取代运行时间中的所有加法常数
在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶。

举个例子：

F(N) = N * N + 2 * N + 10

N 的值	准确结果	估算结果
10	130	100
100	10210	10000
1000	1002010	100w

随着N越大，后两项对结果的影响几乎可以忽略不计。

F(N) = N * N + 2 * N + 10 ⇒ F(N) = N * N + 2 * N + 1 ⇒ F(N) = N * N

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N²)。

练习：计算Func3的时间复杂度。

void Func3(int N, int M) {
  int count = 0;
  for(int i = 0; i < M; i++) {
    ++count;
  }
  for(int j = 0; j < N; j++) {
    ++count;
  }
}

结果：F(N) = M + N ⇒ O(N + M)

如果N远大于M，可以表示为：O(N)。

如果M远大于N，可以表示为：O(M)。

如果N等于M，可以表示为：O(N) 或者 O(M)。

练习：计算Func4的时间复杂度

void Func4(int N) {
  int count = 0;
  for(int i = 0; i < 100; i++) {
    ++count;
  }
}

结果：F(N) = 100 ⇒ O(1)，不是表示一次，而是表示常数次。

另外时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入的期望运行次数
最好情况：任意输入的最小运行次数（下界）

例如在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中国搜索数据的时间复杂度为O(N)。

练习：计算冒泡排序的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n) {
  for(size_t end = n; end > 0; --end) {
    int exchange = 0;
    for(size_t i = 1; i < end; ++i) {
      if(a[i-1] > a[i]) {
        Swap(&a[i-1], &a[i]);
        exchange = 1;
      }
    }
    if(exchange == 0) {
      break;
    }
  }
}

结果：F(N) = N-1 + N-2 + N-3 + ... + 2 + 1 ⇒ F(N) = (N-1 + 1) * (N-1) / 2 ⇒ O(N²)

最好情况是O(N)。

练习：计算二分查找的时间复杂度

int binary_search(int arrays[], int result, int length) {
    int begin = 0, end = length - 1;
    int mid = 0;
    while (begin <= end) {
        mid = (begin + end) / 2;
        if (arrays[mid] == result)break;
        else if (arrays[mid] < result)begin = mid + 1;
        else if (arrays[mid] > result)end = mid - 1;
    }
    return mid;
}

结果：F(N) = N / 2 / 2 / 2.... ⇒ F(N) = log₂N ⇒ O(log₂N)

最好O(1)。

# 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中额外临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意:函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

练习：计算冒泡排序的空间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n) {
  for(size_t end = n; end > 0; --end) {
    int exchange = 0;
    for(size_t i = 1; i < end; ++i) {
      if(a[i-1] > a[i]) {
        Swap(&a[i-1], &a[i]);
        exchange = 1;
      }
    }
    if(exchange == 0) {
      break;
    }
  }
}

结果：没有额外申请空间，O(1)。

练习：计算斐波那契的空间复杂度

// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n) {
    if(n==0)
         return NULL;
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
    return fibArray;
}

结果：每次申请n+1空间，O(N)。

练习：计算阶乘递归Fac的空间复杂度?

long long Fac(size_t N)
{   
	if(N == 0)
        return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

结果：递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

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